非欧几何.

在非欧几何中，

三角形内角和并不等于180度.

在黎曼非欧几何中，

不存在平行线.

在罗氏非欧几何中，

平行线可以相交.

我们在小学初中时接触到的欧式几何的基本公理是这样的：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

当然第五条的意思也可以这样表述：

过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。

但如果把第五条公理改动一下：

过直线外一点，至少可以做两条直线与已知直线平行。

保留前四条公理，仅改变这一条，便可推理演绎出

非欧几何

。


这一过程看似反直觉，但却毫不违反逻辑。


这时才意识到，为何初中时课本总是在重复那些看似毫无意义的公理。这就是逻辑的力量，

那些看起来很无趣的东西，往往是最难以辨清对错的。我们的数学体系也就是架构在一个个无法分辨对错的基础上的。

正如「1+1=2」，我们把它用作公理，却始终无法证明。（这一点居然被人喷了...1+1=2作为整个数学体系里最基本定义，也是人类根据物质世界的表征进行的最符合其认知方式的定义，

已经无法再向上找到1+1=2的定义依据

。所以它无法证明，自然也不需要去证明。）

明白了这点，也就深刻明白了

「从一个错误的假设开始，能够推导出任何可能的结论」

这一逻辑学上的名句。但是非欧几何的假设并不是错误的，浩瀚宇宙，总有一个高维度空间适用于它。也许在那个空间的智慧生命眼里，我们的黎曼几何才是世界的常态，而我们的欧式几何只不过是他们之中的数学家们的思维游戏，并无多大实际作用。

不过后来，非欧几何的理论还真被用在了相对论上。

人类如此渺小，以至于用亿万年去探索宇宙的常态却仍不得成功。

它是各种维度混沌复现，许多超越人类认知水平的东西仍隐藏在黑夜之后；但它也是秩序的象征，人们能够在混沌中寻求秩序，用数字的视野将它捕捉。混沌与秩序，也许就是宇宙常态的本源。

在探索欲的支使之下，我们能够仰望星辰大海，因为那是我们的总要踏上的征途…